Dans l'exemple de du Bellay, môme paraît signifier moqueur et se rattacher à momerie. C'est à ce mot aussi que probablement se rattache môme, terme populaire.
Étymologie de môme
Origine du mot môme
(1821) D’origine inconnue. Probablement issu d’une onomatopée, mom-, exprimant les sons primitifs que fait entendre l'enfant → voir mot et motus en français, mome en ancien français, to mum en anglais.
D'après le Wiktionnaire, CC BY-SA.
L'étymologie de môme selon le Littré
Émile Littré, Dictionnaire de la langue française, 1872-1877 : l'étymologie telle que la philologie de son temps l'établissait.
Le mot môme d'après le Littré
s. m. Terme populaire. Gamin, petit enfant. Lire l'article